Задание 26 демоверсии ЕГЭ 2027 по физике

Обоснование.

1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Начало координат — точка броска первого шарика, ось $Oy$ вертикально вверх.
2. Размеры шариков малы по сравнению с их перемещениями, поэтому шарики считаем материальными точками.
3. Сопротивлением воздуха пренебрегаем: до и после удара на шарики действует только сила тяжести, это свободное падение с ускорением $\vec g$, и применимы кинематические формулы равноускоренного движения.
4. Удар длится очень малое время, поэтому импульс внешней силы (силы тяжести) за время удара пренебрежимо мал. Значит, импульс системы двух шариков при столкновении сохраняется.

Решение.

1. До столкновения вертикальные проекции скоростей: $\upsilon_{1y}(t) = \upsilon_0\sin\alpha - gt,\qquad \upsilon_{2y}(t) = -gt.$

2. В момент удара $t_1$ по закону сохранения импульса $m\vec\upsilon_1 + m\vec\upsilon_2 = 2m\vec u$. После удара скорость $\vec u$ горизонтальна, значит, сумма вертикальных проекций до удара равна нулю: $(\upsilon_0\sin\alpha - gt_1) + (-gt_1) = 0 \;\Rightarrow\; t_1 = \frac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$

3. Высота, на которой произошло столкновение (координата первого шарика): $h = \upsilon_0\sin\alpha\cdot t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = \frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g} - \frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}.$

4. После удара вертикальная скорость слипшихся шариков равна нулю, и высоту $h$ они проходят за время $\tau$ как при свободном падении: $h = \dfrac{g\tau^2}{2}$. Приравниваем: $\frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \frac{g\tau^2}{2} \;\Rightarrow\; \upsilon_0\sin\alpha = \frac{2g\tau}{\sqrt3}.$

Ответ: $\upsilon_0 = \dfrac{2g\tau}{\sqrt3\,\sin\alpha}$.

Обоснование.

1. Систему отсчёта, связанную со столом, считаем инерциальной.
2. Брусок и грузы движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками и описывать второй закон Ньютона для материальной точки.
3. Нить нерастяжима, а длина пружины при движении постоянна, поэтому ускорения бруска и обоих грузов одинаковы по модулю: $a_1 = a_2 = a_3 = a$. Так как силы, действующие на тела, постоянны, движение равноускоренное.
4. Нить и блок невесомы, трения в оси блока нет, поэтому сила натяжения нити, действующая на брусок и на верхний груз, одна и та же: $T_1 = T_2 = T$.
5. Пружина лёгкая, поэтому силы упругости, с которыми она действует на верхний и нижний грузы, равны по модулю: $F_\text{упр2} = F_\text{упр3} = F_\text{упр}$.

Рисунок. Ось $Ox$ — вдоль стола к блоку, ось $Oy$ — вертикально вниз для грузов. На брусок: $M\vec g$ вниз, $\vec N$ вверх, $\vec T$ к блоку, $\vec F_\text{тр}$ против движения. На верхний груз: $m\vec g$ вниз, $\vec T$ вверх, $\vec F_\text{упр}$ вниз. На нижний груз: $m\vec g$ вниз, $\vec F_\text{упр}$ вверх. Ускорения бруска — к блоку, грузов — вниз.

Решение.

1. Второй закон Ньютона в проекциях:

• брусок: $Ma = T - F_\text{тр}$, $\;N = Mg$;
• верхний груз: $ma = mg - T + F_\text{упр}$;
• нижний груз: $ma = mg - F_\text{упр}$.

2. Сила трения скольжения $F_\text{тр} = \mu N = \mu Mg$. Складываем три уравнения движения: $(M + 2m)a = 2mg - \mu Mg \;\Rightarrow\; a = \frac{(2m - \mu M)g}{M + 2m} = \frac{(0{,}4 - 0{,}12)\cdot10}{1{,}0} = 2{,}8\ \text{м/с}^2.$

3. Из уравнения для нижнего груза: $F_\text{упр} = m(g - a) = \frac{mMg(1 + \mu)}{M + 2m} = 0{,}2\cdot(10 - 2{,}8) = 1{,}44\ \text{Н}.$

4. По закону Гука $F_\text{упр} = k(L - l)$, откуда $k = \frac{F_\text{упр}}{L - l} = \frac{1{,}44}{0{,}14 - 0{,}12} = 72\ \text{Н/м}.$

Ответ: $k = 72$ Н/м.

Обоснование.

1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной.
2. Рычаг описываем моделью абсолютно твёрдого тела: его форма и размеры не меняются.
3. Рычаг не движется поступательно, поэтому сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю; рычаг не вращается, поэтому сумма моментов сил относительно оси, проходящей через точку опоры, равна нулю.
4. Грузы могут двигаться только поступательно, их считаем материальными точками и применяем к ним второй закон Ньютона.
5. Нити невесомы, поэтому сила натяжения вдоль каждой нити одинакова; по третьему закону Ньютона грузы, нити и рычаг действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами.

Рисунок. Случай 1 (в воздухе): на рычаг действуют сила реакции опоры $\vec Q_1$ (вверх) и силы натяжения нитей $\vec P_1$ и $\vec P_2$ (вниз) на концах; плечи $l_1$ и $l_2$. Случай 2 (грузы в воде): опора сдвинута на $\Delta l$ к тяжёлому грузу, силы $\vec Q_2$, $\vec P_1'$, $\vec P_2'$, плечи $l_1 - \Delta l$ и $l_2 + \Delta l$. На каждый груз в воде: $m\vec g$ вниз, сила Архимеда $\vec F_\text{Арх}$ и сила натяжения нити $\vec N'$ — вверх.

Решение. Обозначим $m_1 = 1{,}28$ кг, $m_2 = 0{,}32$ кг, $V = 200$ см$^3 = 2\cdot10^{-4}$ м$^3$, $\Delta l = 0{,}1$ м, $\rho$ — плотность воды.

1. В воздухе груз покоится: $N = mg$, а по третьему закону Ньютона нить тянет рычаг с силой $P = N = mg$. Правило моментов: $P_1 l_1 = P_2 l_2. \qquad (1)$

2. В воде на груз дополнительно действует сила Архимеда $F_\text{Арх} = \rho g V$ (одинаковая для обоих грузов: объёмы равны). Тогда $N' = mg - F_\text{Арх}$ и $P' = P - F_\text{Арх}$.

3. Обе силы уменьшились на одну и ту же величину, поэтому бо́льшая сила уменьшилась в меньшее число раз, и момент тяжёлого груза стал перевешивать. Чтобы сохранить равновесие, опору сдвигаем к тяжёлому грузу: $(P_1 - F_\text{Арх})(l_1 - \Delta l) = (P_2 - F_\text{Арх})(l_2 + \Delta l). \qquad (2)$

4. Числа: $P_1 = 12{,}8$ Н, $P_2 = 3{,}2$ Н, $F_\text{Арх} = 1000\cdot10\cdot2\cdot10^{-4} = 2$ Н. Из (1): $l_2 = \dfrac{P_1}{P_2}l_1 = 4l_1$. Подставляем в (2): $10{,}8\,(l_1 - 0{,}1) = 1{,}2\,(4l_1 + 0{,}1) \;\Rightarrow\; 6l_1 = 1{,}2 \;\Rightarrow\; l_1 = 0{,}2\ \text{м}.$

Ответ: $l_1 = 0{,}2$ м (20 см).