МУМ5 → Информатика → разборы → демоверсия 2027 → № 14

Задание 14 демоверсии ЕГЭ 2027 по информатике

Позиционные системы счисления. Реши сам, потом открой решение.

Пример 1

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 22.

$27x98876_{22} + 26x51_{22} + 711x5_{22}$

В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 22-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение $x$ , при котором значение данного арифметического выражения кратно 21. Для найденного $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 21 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 15

Решение и ответ

Перебираем цифру $x$ от 0 до 21, переводим каждое слагаемое в десятичную систему (схемой Горнера) и проверяем делимость суммы на 21.

def num(s, x):
    v = 0
    for c in s:
        v = v * 22 + (x if c == 'x' else int(c))
    return v

for x in range(22):
    s = num('27x98876', x) + num('26x51', x) + num('711x5', x)
    if s % 21 == 0:
        print(x, s // 21)
        break

Наименьшее подходящее $x = 3$ , частное равно 276296118.

Ответ: 276296118

Пример 2

Значение арифметического выражения

$3 \cdot 3125^8 + 2 \cdot 625^7 - 4 \cdot 625^6 + 3 \cdot 125^5 - 2 \cdot 25^4 - 2025$

записали в системе счисления с основанием 25. Сколько значащих нулей содержится в этой записи?

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 15

Решение и ответ

Python работает с длинными числами, поэтому выражение можно вычислить точно и выписать его цифры в 25-ричной системе, отбрасывая по одной с конца.

v = 3 * 3125**8 + 2 * 625**7 - 4 * 625**6 + 3 * 125**5 - 2 * 25**4 - 2025
k = 0
while v:
    k += v % 25 == 0
    v //= 25
print(k)

Цикл идёт, пока число не станет нулём, поэтому считаются только значащие нули. Их 10.

Ответ: 10

Пример 3

Значение арифметического выражения $7^{170} + 7^{100} - x$ , где $x$ – целое положительное число, не превышающее 2030, записали в 7-ричной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$ , при котором в данной записи значения арифметического выражения содержится ровно 71 нуль.

В ответе запишите число в десятичной системе счисления.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 16

Решение и ответ

Для каждого $x$ от 1 до 2030 вычисляем выражение, считаем нули в 7-ричной записи и запоминаем последнее (наибольшее) подходящее $x$ .

best = 0
for x in range(1, 2031):
    v, k = 7**170 + 7**100 - x, 0
    while v:
        k += v % 7 == 0
        v //= 7
    if k == 71:
        best = x
print(best)

Почему так: $7^{170} + 7^{100}$ в 7-ричной записи — единица, 69 нулей, единица и 100 нулей. Так как $x < 7^4$ , после вычитания получится: 1, 69 нулей, 0 на месте второй единицы, 96 шестёрок и четыре последние цифры числа $7^4 - x = 2401 - x$ . Нулей уже 70, значит, среди последних четырёх цифр нуль должен быть ровно один. При $x = 2030$ : $371 = 1040_7$ — два нуля; при $x = 2029$ : $372 = 1041_7$ — один.

Ответ: 2029