МУМ5 → Математика профиль → разборы → демоверсия 2027 → № 1

Задание 1 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня

Планиметрия: длины, углы, площади. Реши сам, потом открой решение.

Пример 1

В четырёхугольник $ABCD$ , периметр которого равен $22$ , вписана окружность, $AB=8$ . Найдите длину стороны $CD$ .

Четырёхугольник ABCD с вписанной окружностью

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 4

Решение и ответ

В четырёхугольник можно вписать окружность, только если суммы противоположных сторон равны: $AB+CD=BC+AD$ .
Значит, каждая из этих сумм — половина периметра: $AB+CD=22:2=11$ .
$CD=11-8=3$ .

Ответ: 3

Пример 2

Площадь треугольника $ABC$ равна $60$ , $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$ . Найдите площадь трапеции $ABED$ .

Треугольник ABC со средней линией DE, трапеция ABED выделена

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 4

Решение и ответ

Средняя линия отсекает треугольник $CDE$ , подобный $CAB$ с коэффициентом $\frac12$ .
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента: $S_{CDE}=\frac14\cdot60=15$ .
Трапеция — это остаток: $60-15=45$ .

Ответ: 45

Пример 3

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $54^\circ$ , $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $23^\circ$ . Найдите величину угла $ADB$ . Ответ дайте в градусах.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 4

Решение и ответ

Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle CAD=\angle BAD=23^\circ$ .
Угол $ADB$ — внешний угол треугольника $ADC$ , он равен сумме двух углов, не смежных с ним: $\angle ADB=\angle C+\angle CAD$ .
$54^\circ+23^\circ=77^\circ$ .

Ответ: 77