МУМ5 → Математика профиль → разборы → демоверсия 2027 → № 2

Задание 2 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня

Векторы: координаты, длина, скалярное произведение. Реши сам, потом открой решение.

Пример 1

На координатной плоскости изображены векторы a⃗\vec a и b⃗\vec b. Найдите скалярное произведение a⃗⋅b⃗\vec a\cdot\vec b.

Векторы a и b на клетчатой координатной плоскости

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 5

Решение и ответ

  1. Координаты вектора — разность координат конца и начала. По клеткам: a⃗\vec a идёт из (1;2)(1;2) в (5;8)(5;8), значит, a⃗(4;6)\vec a(4;6); b⃗\vec b идёт из (5;5)(5;5) в (11;3)(11;3), значит, b⃗(6;−2)\vec b(6;-2).

  2. Скалярное произведение — сумма произведений одноимённых координат: 4⋅6+6⋅(−2)=24−12=124\cdot6+6\cdot(-2)=24-12=12.

Ответ: 12

Пример 2

Даны векторы a⃗(2;2)\vec a(2;2) и b⃗(2;−2)\vec b(2;-2). Найдите длину вектора 7a⃗+b⃗7\vec a+\vec b.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 5

Решение и ответ

  1. 7a⃗=(14;14)7\vec a=(14;14), поэтому 7a⃗+b⃗=(14+2; 14−2)=(16;12)7\vec a+\vec b=(14+2;\,14-2)=(16;12).

  2. Длина вектора: 162+122=256+144=400=20\sqrt{16^2+12^2}=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}=20.

Ответ: 20

Пример 3

Даны векторы a⃗(5;3)\vec a(5;3) и b⃗(4;−6)\vec b(4;-6). Найдите скалярное произведение a⃗⋅b⃗\vec a\cdot\vec b.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 5

Решение и ответ

  1. Перемножаем одноимённые координаты и складываем: 5⋅4+3⋅(−6)=20−18=25\cdot4+3\cdot(-6)=20-18=2.

Ответ: 2