МУМ5 → Математика профиль → разборы → демоверсия 2027 → № 3

Задание 3 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня

Стереометрия: объёмы и площади поверхностей. Реши сам, потом открой решение.

Пример 1

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна $18$ . Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Треугольная призма, от которой плоскостью через среднюю линию основания отсечена меньшая призма

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 5

Решение и ответ

Боковая поверхность призмы — это периметр перпендикулярного сечения, умноженный на длину бокового ребра. Боковое ребро у обеих призм общее.
Основание отсечённой призмы — треугольник, подобный исходному с коэффициентом $\frac12$ (его стороны — средняя линия и половины двух сторон). Его периметр вдвое меньше; то же верно и для перпендикулярного сечения.
Значит, боковая поверхность исходной призмы вдвое больше: $2\cdot18=36$ .

Ответ: 36

Пример 2

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=9$ , $BC=6$ , $AA_1=5$ . Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $B_1$ .

Прямоугольный параллелепипед, выделена треугольная пирамида ABCB1

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 6

Решение и ответ

Многогранник $ABCB_1$ — треугольная пирамида с основанием $ABC$ и высотой $BB_1=AA_1=5$ (ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию).
$S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot9\cdot6=27$ .
$V=\frac13\cdot27\cdot5=45$ .

Ответ: 45

Пример 3

Цилиндр, объём которого равен $18$ , описан около шара. Найдите объём шара.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 6

Решение и ответ

Если цилиндр описан около шара радиуса $r$ , то радиус основания цилиндра равен $r$ , а высота — $2r$ . Объём цилиндра $\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3$ .
Объём шара $\frac43\pi r^3$ — это $\frac23$ от объёма цилиндра.
$\frac23\cdot18=12$ .

Ответ: 12