Задание 14 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня

а) Так как $\cos(x+\pi)=-\cos x$ и $\cos2x=2\cos^2x-1$, уравнение принимает вид

$$2\cos^2x-1-\sqrt2\cos x+1=0;\quad \cos x\left(2\cos x-\sqrt2\right)=0.$$

Если $\cos x=0$, то $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb Z$. Если $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, то $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$, или $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi m$, $m\in\mathbb Z$.

б) Отберём корни из отрезка $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2}\right]$. Серия $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$: $-4\pi\le\dfrac{\pi}{2}+\pi k\le-\dfrac{5\pi}{2}\iff-\dfrac92\le k\le-3$, то есть $k=-4$ или $k=-3$; получаем $x=-\dfrac{7\pi}{2}$ и $x=-\dfrac{5\pi}{2}$. Серия $x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: $-\dfrac{17}{8}\le n\le-\dfrac{11}{8}$, то есть $n=-2$; получаем $x=-\dfrac{15\pi}{4}$. Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi m$: $-\dfrac{15}{8}\le m\le-\dfrac98$ — целых $m$ нет.

Ответ: а) $\dfrac{\pi}{2}+\pi k$, $k\in\mathbb Z$; $\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; б) $-\dfrac{15\pi}{4}$; $-\dfrac{7\pi}{2}$; $-\dfrac{5\pi}{2}$.

а) По формуле косинуса суммы $4\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=4\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt2}{2}\sin x\right)=2\sqrt2\cos x-2\sqrt2\sin x$, а $\cos(\pi-x)=-\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sqrt2\cos x-2\sqrt2\sin x-2\sqrt2\cos x=2;\quad \sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$, или $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

б) Серия $x=-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$: $\dfrac{17\pi}{2}\le-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\le10\pi\iff\dfrac{35}{8}\le n\le\dfrac{41}{8}$, то есть $n=5$; $x=10\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{39\pi}{4}$. Серия $x=-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$: $\dfrac{37}{8}\le k\le\dfrac{43}{8}$, то есть $k=5$; $x=10\pi-\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{37\pi}{4}$.

Ответ: а) $-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n$, $n\in\mathbb Z$; $-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k$, $k\in\mathbb Z$; б) $\dfrac{37\pi}{4}$; $\dfrac{39\pi}{4}$.