Задание 16 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня

Левая часть определена, если $x>0$ и $\log_2x>0$, то есть при $x>1$. При этом условии $2^{\log_2(\log_2x)}=\log_2x$ (основное логарифмическое тождество), а $\log_4x=\dfrac12\log_2x$, поэтому $\log_4^2x=\dfrac14\log_2^2x$. Пусть $t=\log_2x$, $t>0$. Неравенство принимает вид

$$t+\frac{t^2}{4}-3\le0;\quad t^2+4t-12\le0;\quad (t+6)(t-2)\le0,$$

откуда $-6\le t\le2$. С учётом $t>0$ получаем $0<t\le2$, то есть $0<\log_2x\le2$ и $1<x\le4$.

Ответ: $(1;4]$.

Пусть $t=8^x$, $t>0$. Тогда $2\cdot8^{x-1}=\dfrac{t}{4}$, $\dfrac{t/4}{t/4-1}=\dfrac{t}{t-4}$, а $64^x-5\cdot8^x+4=t^2-5t+4=(t-1)(t-4)$. Неравенство принимает вид

$$\frac{t}{t-4}-\frac{3}{t-1}-\frac{8}{(t-1)(t-4)}\ge0;\quad \frac{t^2-t-3t+12-8}{(t-1)(t-4)}\ge0;\quad \frac{(t-2)^2}{(t-1)(t-4)}\ge0.$$

Дробь равна нулю при $t=2$ и положительна, когда $(t-1)(t-4)>0$, то есть при $t<1$ или $t>4$. С учётом $t>0$: $0<t<1$, $t=2$ или $t>4$. $8^x<1\iff x<0$; $8^x=2\iff x=\dfrac13$; $8^x>4\iff 2^{3x}>2^2\iff x>\dfrac23$.

Ответ: $(-\infty;0)$; $\dfrac13$; $\left(\dfrac23;+\infty\right)$.