Задание 17 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня: разбор

Наибольшее значение: прикладная задача. Сначала напиши свой ответ, потом сравни с образцом.

Пример 1

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon=50$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}$ . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P=I^2R$ . Какова максимальная тепловая мощность $P$ , которая может быть выделена нагрузкой?

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 15

Образец ответа

Подставим силу тока в формулу мощности: $P=\dfrac{\varepsilon^2R}{(r+R)^2}=\dfrac{2500R}{(R+1)^2}$ , где $R\ge0$ . Найдём производную:

P'(R)=2500\cdot\frac{(R+1)^2-2R(R+1)}{(R+1)^4}=\frac{2500(1-R)}{(R+1)^3}.

При $0\le R<1$ производная положительна, при $R>1$ — отрицательна. Значит, $P(R)$ возрастает на $[0;1]$ и убывает на $[1;+\infty)$ , и наибольшее значение достигается при $R=1$ :

P(1)=\frac{2500\cdot1}{2^2}=625.

(То же видно из неравенства $(R+1)^2\ge4R$ : $P\le\dfrac{2500}{4}$ , равенство при $R=1$ .)

Ответ: 625 Вт.

Как оценивают · максимум 2

Обоснованно получен верный ответ до 2
Функция составлена верно, наибольшее значение обосновано (производной, свойствами параболы или неравенством), ответ верный.
Вычислительная ошибка до 1
1 балл — последовательность шагов верна, но ответ неверный из-за вычислительной ошибки.
Не соответствует критериям до 0
0 баллов — решение не подходит ни под один пункт выше. Ответ без обоснования максимума не засчитывается.

Как выполнять

Выражаем мощность через $R$ : $P(R)=\dfrac{2500R}{(R+1)^2}$ , $R\ge0$ .
Находим производную и её знаки на луче $R\ge0$ .
Точка максимума $R=1$ , считаем $P(1)$ .

Пример 2

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A=k\theta_0\cdot\dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2-\tau^2\right)^2+n\tau^2T^2}}$ , где $k=0{,}91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0=9^\circ$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T=14{,}7$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n=0{,}0792$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 15

Образец ответа

При $\tau>0$ разделим числитель и знаменатель дроби на $\tau^2$ :

A=\frac{k\theta_0}{\sqrt{\dfrac{\left(T^2-\tau^2\right)^2}{\tau^4}+\dfrac{nT^2}{\tau^2}}}.

Числитель постоянен и положителен, поэтому $A$ наибольшая, когда наименьшее подкоренное выражение. Положим $u=\dfrac{T^2}{\tau^2}$ , $u>0$ . Тогда $\dfrac{(T^2-\tau^2)^2}{\tau^4}=(u-1)^2$ , и подкоренное выражение равно

g(u)=(u-1)^2+nu=u^2-(2-n)u+1.

Это парабола с ветвями вверх, наименьшее значение — в вершине $u_0=\dfrac{2-n}{2}=1-\dfrac n2$ . Так как $n=0{,}0792<2$ , то $u_0>0$ — значение допустимо. Из $\dfrac{T^2}{\tau^2}=1-\dfrac n2$ получаем

\tau=\frac{T}{\sqrt{1-\frac n2}}=\frac{14{,}7}{\sqrt{1-0{,}0396}}=\frac{14{,}7}{\sqrt{0{,}9604}}=\frac{14{,}7}{0{,}98}=15.

Ответ: 15.

Как оценивают · максимум 2

Обоснованно получен верный ответ до 2
Функция составлена верно, наибольшее значение обосновано (производной, свойствами параболы или неравенством), ответ верный.
Вычислительная ошибка до 1
1 балл — последовательность шагов верна, но ответ неверный из-за вычислительной ошибки.
Не соответствует критериям до 0
0 баллов — решение не подходит ни под один пункт выше. Ответ без обоснования максимума не засчитывается.

Как выполнять

Делим числитель и знаменатель на $\tau^2$ : амплитуда наибольшая, когда наименьшее подкоренное выражение.
Замена $u=\frac{T^2}{\tau^2}>0$ превращает его в квадратный трёхчлен от $u$ .
Находим вершину параболы и возвращаемся к $\tau$ .