Задание 19 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня

Из первого уравнения $y=4x+a$. Подставляя во второе, получаем $2|4x+a|=x^2-4x$. Каждому корню $x$ этого уравнения соответствует ровно одно решение системы, поэтому нужно найти $a$, при которых уравнение имеет ровно два корня. Правая часть должна быть неотрицательна: $x^2-4x\ge0$, то есть $x\le0$ или $x\ge4$. При этом условии $4x+a=\pm\dfrac{x^2-4x}{2}$, то есть

$$a=p(x)=\frac{x^2-12x}{2}\quad\text{или}\quad a=q(x)=-\frac{x^2+4x}{2},\qquad x\in(-\infty;0]\cup[4;+\infty).$$

Обе функции совпадают только там, где $x^2-4x=0$: $p(0)=q(0)=0$, $p(4)=q(4)=-16$. Изучим каждую дугу (в плоскости $(x;a)$ каждая горизонтальная прямая $a=\text{const}$ пересекает монотонную дугу не более одного раза):

• $p$ при $x\le0$ убывает от $+\infty$ до $0$ — значения $a\ge0$;
• $p$ при $x\ge4$: $p(4)=-16$, убывает до вершины $p(6)=-18$, затем возрастает до $+\infty$ — на $[4;6]$ значения $[-18;-16]$, на $[6;+\infty)$ значения $a\ge-18$;
• $q$ при $x\le0$: возрастает до вершины $q(-2)=2$, затем убывает до $q(0)=0$ — на $(-\infty;-2]$ значения $a\le2$, на $[-2;0]$ значения $[0;2]$;
• $q$ при $x\ge4$ убывает от $-16$ до $-\infty$ — значения $a\le-16$.

Считаем различные корни:

• $a<-18$: по одному на $q$ при $x<-2$ и на $q$ при $x>4$ — два корня;
• $a=-18$: добавляется $x=6$ — три корня;
• $-18<a<-16$: по одному на четырёх дугах — четыре корня;
• $a=-16$: корни $x=4$ (общий для $p$ и $q$), корень на $p$ при $x>6$ и на $q$ при $x<-2$ — три корня;
• $-16<a<0$: корень на $p$ при $x>6$ и на $q$ при $x<-2$ — два корня;
• $a=0$: $x=0$ (общий), $x=12$, $x=-4$ — три корня;
• $0<a<2$: по одному на $p$ при $x<0$, на $p$ при $x>6$ и на обеих частях $q$ при $x<0$ — четыре корня;
• $a=2$: $x=-2$ — вершина $q$ — и по одному на двух дугах $p$ — три корня;
• $a>2$: по одному на двух дугах $p$ — два корня.

Ответ: $a<-18$; $-16<a<0$; $a>2$.

Обозначим $Q(x)=ax^3-2x^2+\left(a^3-a\right)x-\left(2a^2-2\right)$. Левая часть уравнения равна $x\cdot Q(x)$, а правая равна $-Q(x)$. Поэтому уравнение равносильно

$$x\,Q(x)+Q(x)=0;\quad (x+1)\,Q(x)=0.$$

Сгруппируем $Q(x)$: $Q(x)=x^2(ax-2)+\left(a^2-1\right)(ax-2)=(ax-2)\left(x^2+a^2-1\right)$. Получаем совокупность

$$x=-1,\qquad ax=2,\qquad x^2=1-a^2.$$

• $a=0$: уравнение $ax=2$ корней не имеет, $x^2=1$ даёт $x=\pm1$. Вместе с $x=-1$ — ровно два корня: $-1$ и $1$. Подходит.
• $0<|a|<1$: $x^2=1-a^2$ даёт два корня $\pm\sqrt{1-a^2}$, по модулю меньших 1; $x=\dfrac2a$, $\left|\dfrac2a\right|>2$. Все четыре корня различны — не подходит.
• $a=1$: корни $-1$, $2$ и $0$ — три корня; $a=-1$: корни $-1$, $-2$ и $0$ — три корня. Не подходят.
• $|a|>1$: $x^2=1-a^2<0$ корней не имеет, остаются $x=-1$ и $x=\dfrac2a$. Они совпадают только при $a=-2$ (тогда корень один). Значит, при $a<-2$, $-2<a<-1$ и $a>1$ корней ровно два.

Ответ: $a<-2$; $-2<a<-1$; $a=0$; $a>1$.