Задание 20 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня: разбор

Числа и их свойства. Сначала напиши свой ответ, потом сравни с образцом.

Пример 1

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120$ . Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 16

Образец ответа

Пусть синих карточек $s$ , красных $k$ . По условию наибольшее красное число равно $2s$ , наибольшее синее число равно $k$ ; в частности, $k$ делится на 5.

а) Да. Возьмём одну синюю карточку с числом 5 и пять красных с числами $-8$ , $-4$ , $-2$ , $0$ , $2$ . Синее число делится на 5, красные числа различные чётные, все больше $-120$ ; наибольшее красное число $2=2\cdot1$ , наибольшее синее число $5$ равно количеству красных карточек. Всего шесть карточек.

б) Нет. Все красные числа — различные чётные числа, большие $-120$ и не большие $2s$ , то есть из набора $-118,-116,\dots,2s$ . В нём $\dfrac{2s+118}{2}+1=s+60$ чисел, значит, $k\le s+60<s+90$ .

в) Как в пункте б), $k\le s+60$ . Синие числа — различные кратные 5 числа из набора $-115,-110,\dots,k$ , в котором $\dfrac{k+115}{5}+1=\dfrac{k+120}{5}$ чисел, поэтому $5s\le k+120$ . Отсюда $5s\le s+180$ , то есть $s\le45$ , и $k\le s+60\le105$ . Всего карточек $s+k\le150$ . Пример на 150 карточек: на 45 синих карточках написаны числа $-115,-110,\dots,105$ (наибольшее $105$ — это число красных), на 105 красных — числа $-118,-116,\dots,90$ (наибольшее $90=2\cdot45$ ).

Ответ: а) да; б) нет; в) 150.

Как оценивают · максимум 4

Верные ответы в пунктах а, б и в до 4
Все три пункта обоснованы: в а — пример с проверкой, в б — доказательство невозможности, в в — оценка и пример.
Верен пункт в и один из а, б до 3
3 балла — обоснованно решён пункт в и ещё один из пунктов а или б.
Верны а и б или только в до 2
2 балла — обоснованы пункты а и б, либо обоснованно решён только пункт в (нужны и оценка, и пример).
Верен пункт а или б до 1
1 балл — обоснованно решён один из пунктов а или б.
Не соответствует критериям до 0
0 баллов — решение не подходит ни под один пункт выше.

Как выполнять

а) Число красных карточек — это наибольшее синее число, оно делится на 5; подбираем пример с одной синей и пятью красными.
б) Красные числа — различные чётные из промежутка $[-118;2s]$ , их не больше $s+60$ .
в) Оцениваем: красных $k\le s+60$ , синих $s\le\frac{k+120}{5}$ ; отсюда $s\le45$ , $k\le105$ .
Приводим пример на 150 карточек.

Пример 2

Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей. а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей? б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей? в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 16

Образец ответа

Всего имеется $16\cdot2+29\cdot5=32+145=177$ рублей.

а) Да: $29\cdot5+15\cdot2=145+30=175$ .

б) Нет. Сумма 176 чётная, а двухрублёвые монеты дают чётную сумму, поэтому пятирублёвых монет должно быть чётное число, то есть не больше 28, и они дают не больше 140 рублей. Остаётся не меньше 36 рублей, а двухрублёвыми можно набрать не больше 32 рублей.

в) Без рублёвых монет есть всего 177 рублей, поэтому для суммы 180 нужно добавить не меньше трёх монет по 1 рублю. Покажем, что трёх хватает. Пусть нужна сумма $S$ , $1\le S\le180$ . Возьмём как можно больше пятирублёвых монет, не превышая $S$ . Если взяты не все 29, то остаток меньше 5; если все, то остаток $S-145\le35$ . В обоих случаях остаток не больше 35. Теперь возьмём как можно больше двухрублёвых монет, не превышая остаток: при остатке до 33 рублей останется 0 или 1 рубль, при остатке 34 или 35 (все 16 монет дают 32) останется 2 или 3 рубля. Этот остаток, не больше 3 рублей, добираем рублёвыми монетами.

Ответ: а) да; б) нет; в) 3.

Как оценивают · максимум 4

Верные ответы в пунктах а, б и в до 4
Все три пункта обоснованы: в а — пример с проверкой, в б — доказательство невозможности, в в — оценка и пример.
Верен пункт в и один из а, б до 3
3 балла — обоснованно решён пункт в и ещё один из пунктов а или б.
Верны а и б или только в до 2
2 балла — обоснованы пункты а и б, либо обоснованно решён только пункт в (нужны и оценка, и пример).
Верен пункт а или б до 1
1 балл — обоснованно решён один из пунктов а или б.
Не соответствует критериям до 0
0 баллов — решение не подходит ни под один пункт выше.

Как выполнять

а) Подбираем пример: все пятирублёвые и часть двухрублёвых.
б) Чётная сумма требует чётного числа пятирублёвых монет — их не больше 28; оставшееся двухрублёвыми не набрать.
в) Всего денег $32+145=177<180$ , значит, нужно не меньше трёх рублёвых монет.
Показываем жадным алгоритмом, что трёх хватает для любой суммы.