Задание 25 демоверсии ОГЭ 2027 по математике: разбор

Геометрическая задача повышенной сложности. Сначала напиши свой ответ, потом сравни с образцом.

Задание 25

Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 16 и 34, а основание $BC$ равно 2. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$ . Найдите площадь трапеции.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ОГЭ 2027, с. 14

Образец ответа

Пусть $M$ — середина $AB$ , $DM$ — биссектриса угла $ADC$ . Продолжим $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$ .

$BC\parallel AD$ , поэтому $\angle CKD=\angle ADK$ как накрест лежащие. А $\angle ADK=\angle CDK$ , так как $DK$ — биссектриса. Значит, $\angle CKD=\angle CDK$ , и треугольник $KCD$ равнобедренный: $KC=CD=34$ . Отсюда $KB=KC-BC=34-2=32$ .
Треугольники $AMD$ и $BMK$ равны: $AM=BM$ , углы при $M$ вертикальные, $\angle MAD=\angle MBK$ как накрест лежащие. Значит, $AD=BK=32$ .
Проведём через $C$ прямую, параллельную $AB$ ; она пересечёт $AD$ в точке $P$ . $ABCP$ — параллелограмм, поэтому $CP=AB=16$ , $AP=BC=2$ , $PD=32-2=30$ .
В треугольнике $CPD$ : $16^2+30^2=256+900=1156=34^2$ , то есть $CP^2+PD^2=CD^2$ , и по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle CPD=90^\circ$ . Значит, $CP$ — высота трапеции, $h=16$ .
Площадь: $S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=\dfrac{32+2}{2}\cdot16=17\cdot16=272$ .

Ответ: 272.

Как оценивают · максимум 2

Полное решение до 2
Ход решения верный, все шаги обоснованы (равнобедренный треугольник, равенство треугольников, прямой угол), получен верный ответ.
Решение с недочётом до 1
1 балл — решение в целом верное, но есть несущественные недочёты или вычислительная ошибка.
Не соответствует критериям до 0
0 баллов — решение не подходит ни под один пункт выше, в том числе ответ без решения.

Как выполнять

Продолжаем биссектрису до пересечения с прямой $BC$ в точке $K$ : накрест лежащие углы дают равнобедренный треугольник $KCD$ , $KC=CD=34$ .
Из равенства треугольников с вершиной в середине $AB$ получаем $AD=BK=32$ .
Через $C$ проводим прямую, параллельную $AB$ , и получаем треугольник со сторонами 16, 30, 34 — он прямоугольный по обратной теореме Пифагора.
Значит, $AB$ перпендикулярна основаниям и служит высотой; считаем площадь.