Задание 24 демоверсии ОГЭ 2027 по математике: разбор

Геометрическая задача на доказательство. Сначала напиши свой ответ, потом сравни с образцом.

Задание 24

Известно, что около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность и что продолжения сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника пересекаются в точке $M$ . Докажите, что треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ОГЭ 2027, с. 14

Образец ответа

Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$ вне окружности, поэтому на каждой прямой одна из вершин лежит между другой вершиной и точкой $M$ . Пусть для определённости $B$ лежит между $A$ и $M$ , а $C$ — между $D$ и $M$ .

У треугольников $MBC$ и $MDA$ угол при вершине $M$ общий.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ : $\angle ADC=180^\circ-\angle ABC$ .
Угол $MBC$ смежный с углом $ABC$ (точки $A$ , $B$ , $M$ лежат на одной прямой), поэтому $\angle MBC=180^\circ-\angle ABC$ .
Из пунктов 2 и 3: $\angle MBC=\angle ADC$ , то есть $\angle MBC=\angle MDA$ .

Значит, треугольники $MBC$ и $MDA$ подобны по двум углам (вершине $M$ соответствует $M$ , вершине $B$ — $D$ , вершине $C$ — $A$ ), что и требовалось доказать.

Как оценивают · максимум 2

Полное решение до 2
Доказательство верное и полное: каждый шаг обоснован ссылкой на свойство (общий угол, вписанный четырёхугольник, смежные углы, признак подобия).
Решение с недочётом до 1
1 балл — доказательство в целом верное, но есть несущественные недочёты: например, не оговорено, какая из точек лежит между другой и $, или неточно указано соответствие вершин подобных треугольников.
Не соответствует критериям до 0
0 баллов — решение не подходит ни под один пункт выше, в том числе ответ без решения.

Как выполнять

Пусть $B$ лежит между $A$ и $M$ , $C$ — между $D$ и $M$ (иначе переименуем вершины).
Угол $M$ у треугольников общий.
Свойство вписанного четырёхугольника: $\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$ ; угол $MBC$ смежный с $ABC$ — значит, $\angle MBC=\angle ADC$ .
Два равных угла — треугольники подобны.