Задание 23 демоверсии ОГЭ 2027 по математике: разбор

Геометрическая задача на вычисление. Сначала напиши свой ответ, потом сравни с образцом.

Задание 23

Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$ . Найдите $AB$ , если $AF=12$ , $BF=5$ .

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ОГЭ 2027, с. 14

Образец ответа

Основания $BC$ и $AD$ параллельны, $AB$ — секущая, поэтому $\angle BAD+\angle ABC=180^\circ$ .

$AF$ и $BF$ — биссектрисы, значит,

$\angle BAF+\angle ABF=\tfrac12\angle BAD+\tfrac12\angle ABC=\tfrac12\cdot180^\circ=90^\circ.$

Тогда в треугольнике $ABF$ угол $AFB=180^\circ-90^\circ=90^\circ$ , то есть треугольник прямоугольный с гипотенузой $AB$ . По теореме Пифагора

$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.$

Ответ: 13.

Как оценивают · максимум 2

Полное решение до 2
Ход решения верный, все шаги сделаны правильно (в том числе обосновано, что угол $F$ прямой), ответ верный.
Решение с недочётом до 1
1 балл — решение в целом верное, но есть несущественный недочёт в обосновании или вычислительная ошибка.
Не соответствует критериям до 0
0 баллов — решение не подходит ни под один пункт выше, в том числе ответ без решения.

Как выполнять

Углы трапеции при боковой стороне в сумме дают $180^\circ$ (односторонние при параллельных основаниях).
Половины этих углов дают $90^\circ$ , значит, в треугольнике $ABF$ угол $F$ прямой.
Находим гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора.