МУМ5 → Математика профиль → разборы → демоверсия 2027 → № 11

Задание 11 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня

Текстовая задача. Реши сам, потом открой решение.

Пример 1

Два велосипедиста одновременно отправились в 90-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 5 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 11

Решение и ответ

Пусть скорость второго $v$ км/ч, тогда первого $v+5$ . Разница во времени: $\dfrac{90}{v}-\dfrac{90}{v+5}=3$ .
Приводим к общему знаменателю: $90\cdot5=3v(v+5)$ , то есть $v^2+5v-150=0$ , откуда $v=10$ (корень $-15$ не подходит).
Первым пришёл первый велосипедист, его скорость $10+5=15$ км/ч.

Ответ: 15

Пример 2

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 11

Решение и ответ

Пусть взяли $x$ кг 45%-го и $y$ кг 97%-го раствора. Тогда $0{,}45x+0{,}97y=0{,}62(x+y+10)$ и $0{,}45x+0{,}97y+5=0{,}72(x+y+10)$ .
Вычтем первое уравнение из второго: $5=0{,}1(x+y+10)$ , откуда $x+y=40$ .
Из первого: $0{,}45x+0{,}97y=31$ . Подставим $x=40-y$ : $18+0{,}52y=31$ , $y=25$ , $x=15$ .

Ответ: 15

Пример 3

Заказ на изготовление 112 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 2 детали больше?

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 11

Решение и ответ

Пусть второй делает $x$ деталей в час, первый — $x+2$ . Тогда $\dfrac{112}{x}-\dfrac{112}{x+2}=1$ .
$112\cdot2=x(x+2)$ , то есть $x^2+2x-224=0$ , откуда $x=14$ (корень $-16$ не подходит).

Ответ: 14