МУМ5 → Математика профиль → разборы → демоверсия 2027 → № 9

Задание 9 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике профильного уровня

Производная и поведение функции по графику. Реши сам, потом открой решение.

Пример 1

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$ , определённой на интервале $(-10;7)$ . Найдите количество точек минимума функции $f(x)$ , принадлежащих отрезку $[-2;6]$ .

График производной y = f′(x) на интервале от −10 до 7

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 9

Решение и ответ

Точка минимума функции — это точка, где производная меняет знак с минуса на плюс, то есть график производной пересекает ось $x$ снизу вверх.
На отрезке $[-2;6]$ график $f'$ пересекает ось в трёх точках: около $-1$ (сверху вниз — это максимум $f$ ), в точке $3$ (снизу вверх — минимум) и в точке $5$ (сверху вниз — максимум). Следующее пересечение снизу вверх лежит правее $6$ .
Значит, точка минимума на отрезке одна.

Ответ: 1

Пример 2

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ . На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ , $x_4$ , $x_5$ , $x_6$ , $x_7$ , $x_8$ . Найдите количество отмеченных точек, в которых производная функции $f(x)$ отрицательна.

График функции y = f(x) с восемью отмеченными точками x1–x8 на оси абсцисс

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 9

Решение и ответ

Производная отрицательна там, где функция убывает — график идёт вниз слева направо.
Смотрим на каждую точку: функция убывает в точках $x_3$ , $x_4$ и $x_7$ ; в $x_1$ , $x_2$ , $x_5$ , $x_6$ , $x_8$ она возрастает.

Ответ: 3

Пример 3

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$ . Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ .

График функции y = f(x) и касательная к нему в точке x0

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 9

Решение и ответ

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Касательная проходит через отмеченные узлы сетки $(-1;3)$ и $(4;2)$ .
$k=\frac{2-3}{4-(-1)}=-\frac15=-0{,}2$ .

Ответ: −0,2