МУМ5 → Математика база → разборы → демоверсия 2027 → № 13

Задание 13 демоверсии ЕГЭ 2027 по математике базового уровня

Стереометрия. Реши сам, потом открой решение. Метод — на странице задания 13.

Пример 1

Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1 : 2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10.

Конус с сечением, параллельным основанию

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 25

Решение и ответ

Высота делится 1 : 2 от вершины, значит, высота малого конуса — треть всей. Малый конус подобен большому с коэффициентом 3.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента: $3^3 = 27$ . Большой конус: $10 \cdot 27 = 270$ .

Ответ: 270

Решить похожую →

Пример 2

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 10, боковое ребро равно 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 25

Решение и ответ

Боковая грань — равнобедренный треугольник со сторонами 13, 13, 10. Его высота (апофема): $\sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ .
Площадь грани $\dfrac{10 \cdot 12}{2} = 60$ , граней шесть: $6 \cdot 60 = 360$ .

Ответ: 360

Решить похожую →

Пример 3

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 3 и 6, а второго — 4 и 9. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого конуса?

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 26

Решение и ответ

Боковая поверхность конуса $S = \pi r l$ . Множитель $\pi$ при делении сокращается.
$\dfrac{4 \cdot 9}{3 \cdot 6} = \dfrac{36}{18} = 2$ .

Ответ: 2

Решить похожую →

Пример 4

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рёбра $BC$ , $BA$ и диагональ боковой грани $BC_1$ равны соответственно 5, 7 и $\sqrt{34}$ . Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ .

Прямоугольный параллелепипед с диагональю грани BC1

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 26

Решение и ответ

Не хватает высоты $CC_1$ . Она — катет в прямоугольном треугольнике $BCC_1$ : $CC_1 = \sqrt{34 - 25} = 3$ .
$V = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105$ .

Ответ: 105

Решить похожую →