Задание 26 ЕГЭ физика

Обоснование.

1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Начало координат — точка броска первого шарика, ось $Oy$ вертикально вверх.
2. Размеры шариков малы по сравнению с их перемещениями, поэтому шарики считаем материальными точками.
3. Сопротивлением воздуха пренебрегаем: до и после удара на шарики действует только сила тяжести, это свободное падение с ускорением $\vec g$, и применимы кинематические формулы равноускоренного движения.
4. Удар длится очень малое время, поэтому импульс внешней силы (силы тяжести) за время удара пренебрежимо мал. Значит, импульс системы двух шариков при столкновении сохраняется.

Решение.

1. До столкновения вертикальные проекции скоростей: $\upsilon_{1y}(t) = \upsilon_0\sin\alpha - gt,\qquad \upsilon_{2y}(t) = -gt.$

2. В момент удара $t_1$ по закону сохранения импульса $m\vec\upsilon_1 + m\vec\upsilon_2 = 2m\vec u$. После удара скорость $\vec u$ горизонтальна, значит, сумма вертикальных проекций до удара равна нулю: $(\upsilon_0\sin\alpha - gt_1) + (-gt_1) = 0 \;\Rightarrow\; t_1 = \frac{\upsilon_0\sin\alpha}{2g}.$

3. Высота, на которой произошло столкновение (координата первого шарика): $h = \upsilon_0\sin\alpha\cdot t_1 - \frac{gt_1^2}{2} = \frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{2g} - \frac{\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g}.$

4. После удара вертикальная скорость слипшихся шариков равна нулю, и высоту $h$ они проходят за время $\tau$ как при свободном падении: $h = \dfrac{g\tau^2}{2}$. Приравниваем: $\frac{3\upsilon_0^2\sin^2\alpha}{8g} = \frac{g\tau^2}{2} \;\Rightarrow\; \upsilon_0\sin\alpha = \frac{2g\tau}{\sqrt3}.$

Ответ: $\upsilon_0 = \dfrac{2g\tau}{\sqrt3\,\sin\alpha}$.