Задание 16 ЕГЭ математика профиль

Левая часть определена, если $x>0$ и $\log_2x>0$, то есть при $x>1$. При этом условии $2^{\log_2(\log_2x)}=\log_2x$ (основное логарифмическое тождество), а $\log_4x=\dfrac12\log_2x$, поэтому $\log_4^2x=\dfrac14\log_2^2x$. Пусть $t=\log_2x$, $t>0$. Неравенство принимает вид

$$t+\frac{t^2}{4}-3\le0;\quad t^2+4t-12\le0;\quad (t+6)(t-2)\le0,$$

откуда $-6\le t\le2$. С учётом $t>0$ получаем $0<t\le2$, то есть $0<\log_2x\le2$ и $1<x\le4$.

Ответ: $(1;4]$.