Задание 17 ЕГЭ математика профиль

Как это было в демоверсии 2027

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon=50$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}$ . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P=I^2R$ . Какова максимальная тепловая мощность $P$ , которая может быть выделена нагрузкой?

Источник: ФИПИ, проект демоверсии ЕГЭ 2027, с. 15

Образец ответа

Подставим силу тока в формулу мощности: $P=\dfrac{\varepsilon^2R}{(r+R)^2}=\dfrac{2500R}{(R+1)^2}$ , где $R\ge0$ . Найдём производную:

P'(R)=2500\cdot\frac{(R+1)^2-2R(R+1)}{(R+1)^4}=\frac{2500(1-R)}{(R+1)^3}.

При $0\le R<1$ производная положительна, при $R>1$ — отрицательна. Значит, $P(R)$ возрастает на $[0;1]$ и убывает на $[1;+\infty)$ , и наибольшее значение достигается при $R=1$ :

P(1)=\frac{2500\cdot1}{2^2}=625.

(То же видно из неравенства $(R+1)^2\ge4R$ : $P\le\dfrac{2500}{4}$ , равенство при $R=1$ .)

Ответ: 625 Вт.

Как оценивают · максимум 2

Обоснованно получен верный ответ до 2
Функция составлена верно, наибольшее значение обосновано (производной, свойствами параболы или неравенством), ответ верный.
Вычислительная ошибка до 1
1 балл — последовательность шагов верна, но ответ неверный из-за вычислительной ошибки.
Не соответствует критериям до 0
0 баллов — решение не подходит ни под один пункт выше. Ответ без обоснования максимума не засчитывается.

Как выполнять

Выражаем мощность через $R$ : $P(R)=\dfrac{2500R}{(R+1)^2}$ , $R\ge0$ .
Находим производную и её знаки на луче $R\ge0$ .
Точка максимума $R=1$ , считаем $P(1)$ .